Fonctions numériques - Seconde
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Généralités
a) Définition - Image et antécédents
Définition
Étant donné, une fonction numérique
définie surx)
image
Notations possibles :
fx) =
f
xx) =
Exemple(s)
Soitx) = 2x
2
L’image de
2
L’image de
2
Pour tous réels,
fb)a) =
`
2b
2
´
−
`
2a
2
´
= 2b
2
2
−b
2
−a
2
= 2
`
b
2
−
2
´
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Généralités
Définition
Étant donné une fonction
Pour tout réel, on appelle
quex) =.
Exemple(s)
Soitx) =
2
Recherche des (éventuels) antécédents dex) = 1
fx) = 1
2
2
= 0
0
Recherche des (éventuels) antécédents dex) = 5
fx) = 5
2
2
= 42
22
Recherche des (éventuels) antécédents dex) = 0
fx) = 0
2
2
=1)
0
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Généralités
b) Courbe représentative d’une fonction
Définition
Dans un repère
“
O,
−→
i ,
−→
j
”
, on appelle courbe représentative de la fonction
l’ensemble des pointsx)O~ı
~
x
f(x)
Notation courante : f
Une équation cartésienne de la courbe estx).
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Généralités
Conséquences :
Lecture graphique de l’image d’un réelO~ı
~
a
Image dea:f(a)
Lecture graphique des antécédents d’un réelO~ı
~
b
Antecedents deb
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Généralités
c) Sens de variation d’une fonction sur un intervalle
Définition
•
intervalle
tels que, on aa)b).
sont rangées dans le même ordre que les
nombres de départ)O~ı
~
a
f(a)
b
f(b)
Notation dans un tableau de variations :x
f(x)
•
intervalle
tels que, on aa)b).
sont rangées dans l’ordre contraire de celui
des nombres de départ)O~ı
~
a
f(a)
b
f(b)
Notation dans un tableau de variations :x
f(x)
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Généralités
Remarque(s)
En remplaçanta)ba)b)
strictement croissante sur
En remplaçanta)ba)b)
strictement décroissante sur
Quand une fonction reste croissante ou décroissante sur un intervalle, on dit qu’elle est
monotone sur cet intervalle. Dire qu’une fonction n’est pas monotone sur un intervalle
signifie qu’elle change de sens de variation sur cet intervalle.
Méthode pratique (niveau seconde)
sur un intervalle
1
On considère deux réels.
2
On calculeb)a)
3
On étudie le signe deb)a)
Sib)a)
I
Sib)a)
sur
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2
On calculeb)a)
3
On étudie le signe deb)a)
Sib)a)
I
Sib)a)
sur
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Généralités
Exemple(s)
Soitx) = 3x
2
.
Étude du sens de variation de−∞
Pour tous réels−∞, on a :
fb)a) = 3b
2
−a
2
= 3
`
b
2
−
2
´
= 3 (b)
|{z}
+
×b)
|{z}
−
car0 et0
.
fb)a)−∞.
On en conclut que−∞.
Étude du sens de variation de∞[
Pour tous réels∞[, on a :
fb)a) = 3b
2
−a
2
= 3
`
b
2
−
2
´
= 3 (b)
|{z}
+
×b)
|{z}
+
car0 et0
.
fb)a)∞[.
On en conclut que∞[.
Résumé dans un tableau de variations :x
f−5 ; 3]
en5.1
2
3
4
5
-1
-2
1 2 3 4-1-2-3-4-5-6
O
~{
~|
b
b
b
b
b
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Généralités
e) Recherche de l’ensemble de définition d’une fonction
Définition
Si la partie de
définitionx)
Méthode pratique (niveau seconde)
Six)
expression soit non nulle pour quex)
Six)
soit positive ou nulle pour quex)
Les deux problèmes peuvent se rencontrer en même temps.
Exemple(s)
Recherche de l’ensemble de définition dex) =
1
x
:
fx)= 0= 5. Donc l’ensemble de définition de5}
Recherche de l’ensemble de définition dex) = 3
√
x
fx)4. Donc l’ensemble de définition de−4; +∞[
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Résolution graphique d’équations et d’inéquations
Propriété(s)
Étant donné une fonction fsa courbe représentative dans un repère.
•x) =
les abscisses des points d’intersection entre la courbe
Cfet la droite.O~ı
~
Cf:y=f(x)
d:y=mx+p
•
fx) = 0
entre la courbe fet l’axe des abscisses.O~ı
~
Cf:y=f(x)
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Résolution graphique d’équations et d’inéquations
Propriété(s)
•x)
sont les abscisses des points de la courbe fsitués au
dessus et sur la droite.O~ı
~
Cf:y=f(x)
d:y=mx+p
•x)
sont les abscisses des points de la courbe fsitués en
dessous et sur la droite.O~ı
~
Cf:y=f(x)
d:y=mx+p
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Résolution graphique d’équations et d’inéquations
Exemple(s)
Une fonction−2 ; 5]
fci-dessous :
Les solutions de l’équationx) =x
et
courbe
fet la droitex)
Les solutions de l’équationx) = 02
3
courbe
fet l’axe des abscisses)
Les solutions de l’équationx) = 21
2
courbe
fet la droite horizontale
′
d’équation
y)
L’ensemble des solutions de l’inéquation
fx)x
des points de la courbe
fsitués au dessus et
sur la droitex)
L’ensemble des solutions de l’inéquation
fx)−1 ; 2[
points de la courbe
fsitués strictement au
dessus de la droite horizontale
′
d’équation
y)
Variations : Pour tous réels
fb)a) =b)
|{z}
+
. Si,. Si,.O~ı
~
y=mx
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Fonctions de référence
b) Les Fonctions affines
Elles sont définies surx) =.
La courbe représentative est une droite dont le coefficient directeur
est égal à.
Variations : Pour tous réels,
fb)a) = (mb)) =b)
|{z}
+
.
Si,.
Si,.O~ı
~
y=mx+p
Remarque(s)
Déterminer l’expression d’une fonction affine connaissant deux de ses valeurs revient à déterminer
l’équation réduite d’une droite connaissant deux de ses points.
Exemple : déterminer la fonction affine
réduite de la droite
A= 5
A= 3
d’abscisse
B= 6
B= 7.
On a donc
y
B−
A
x
B−
A
=
7
6
= 4. L’équation réduite dex.
On doit avoir
A= 4x
A+17.
L’équation réduite dexx) = 4x.
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Fonctions de référence
c) La fonction carré
C’est la fonction définie surx) =
2
.
Sa courbe représentative est une parabole.
Variations :
Pour tous réels−∞,
fb)a) =
2
−
2
= (b)
|{z}
+
×b)
|{z}
−
car0 et0
<.
Donc la fonction carrée est strictement décroissante sur−∞.
Pour tous réels∞[,
fb)a) =
2
−
2
= (b)
|{z}
+
×b)
|{z}
+
car0 et0
.
Donc la fonction carrée est strictement croissante sur∞[.O~ı
~
y=x
2
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Donc la fonction carrée est strictement croissante sur∞[.O~ı
~
y=x
2
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Fonctions de référence
d) La fonction inverse
C’est la fonction définie sur−∞∞[x) =
1
x
.
Sa courbe représentative est une hyperbole.
Variations :
Pour tous réels−∞,
fb)a) =
1
b
−
1
a
=
a
ab
=
−
+
z}|{
(b)
(ab)
|{z}
+
<.
Donc−∞.
Pour tous réels∞[,
fb)a) =
1
b
−
1
a
=
a
ab
=
−
+
z}|{
(b)
(ab)
|{z}
+
<.
Donc∞[.O~ı
~
y=
1
x
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Fonctions de référence
e) La fonction racine carrée
C’est la fonction définie sur∞[x) =
√
x.
Variations : pour tous réels∞[
b
fb)a) =
√
b
√
a
“
√
b
√
a
”
×
√
b
√
a
√
b
√
a
=
√
b
2
−
√
a
2
√
b
√
a
=
+
z}|{
(b)
“√
b
√
a
”
|{z}
+
.
Donc∞[.O~ı
~
y=
p
x
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Étude de la position relative de deux courbes
Principe
Étant donné
•x)x)
fx)x)), on peut conclure que la courbe de
fO~ı
~
f(x)
x
g(x)
Cf
Cg
•x)x)
fx)x)), on peut conclure que la courbe de
est située en dessous de la courbe deO~ı
~
f(x)
x
g(x)
Cf
Cg
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Étude de la position relative de deux courbes
Fin du chapitre
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