Sens de variation d’une fonction. Extremum.
I) Sens de variation d’une fonction
● Une fonction est croissante :
Lorsque les abscisses augmentent, les ordonnées () augmentent aussi
C'est-à-dire qu’elle est croissante si sa courbe représentative monte lorsqu’on
la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses.
● Une fonction est décroissante :
Lorsque les abscisses augmentent, les ordonnées () diminuent
C'est-à-dire qu’elle est décroissante si sa courbe représentative descend
lorsqu’on la parcourt dans le sens de l’axe des abscisses.
● Une fonction est constante:
Lorsque quelque soit l’abscisse , l’ordonnée () a toujours la même valeur
Exemple 1 Exemple 2
La fonction est croissante sur [0 ; 3] : La fonction est décroissante sur [-1 ; 1]:
Sa courbe représentative monte Sa courbe représentative descend
Lorsqu’on la parcourt dans le sens lorsqu'on la parcourt dans le sens
de l'axe des abscisses entre =0 et =3 de l'axe des abscisses entre = −1 et =1
Mathématiquement cela se traduit par :
Pour tout nombre � et � appartenant à un intervalle I,
Si � < � et que (�) < (�) alors la fonction est croissante sur cet intervalle I.
Si � < � et que (�) > (�) alors la fonction est décroissante sur cet intervalle I.
Si � < � et que (�) > (�) alors la fonction est décroissante sur cet intervalle I.
représentative
a) Variations d’une fonction
Etudier les variations d’une fonction, c’est trouver le(s) intervalle(s) sur
le(s)quel(s) la fonction est croissante, décroissante ou constante.
b) Tableau de variations d’une fonction
Les variations d’une fonction peuvent se résumer dans un tableau de variation,
où l’on indique uniquement si la courbe monte, descend ou est stable. Dans la
première ligne on indique les valeurs importantes de et dans la seconde les
variations de : on lit les flèches de gauche à droite si la flèche monte, la
fonction est croissante, si elle descend, elle est décroissante, si elle est
horizontale, elle est constante. Aux extrémités de chaque flèche, on indique les
valeurs atteintes par la fonction .
La fonction est constante sur l’intervalle
[-4 ; 4], pour tout de cet intervalle
l’ordonnée a toujours la même valeur : Dans
notre exemple 2.
La fonction constante est toujours représentée
par une droite parallèle à l’axe des
abscisses
Exemples :
−� 0 2,5 4
()
3 5
0 −�,
En reprenant les trois exemples du I) 1), nous pouvons déduire des trois
représentations graphiques :
Dans l’exemple 1 : Dans l’exemple 2 :
La fonction est croissante sur l’intervalle La fonction est décroissante sur l’intervalle
[0 ; 3]. Son tableau de variation est : [-1 ; 1]. Son tableau de variation est :
0 3
()
9
Son tableau de variation est : [-1 ; 1]. Son tableau de variation est :
0 3
()
9
Sur l’intervalle [0 ; 3], Sur l’intervalle [-1 ; 1],
Les ordonnées montent de 3 à 9 les ordonnées descendent de 8 à 0
Dans l’exemple 3 :
La fonction est constante sur l’intervalle [0 ; 3]. Son tableau de variation est :
-4 4
()
-1 1
()
8
La fonction est constante sur l’intervalle [-4 ; 4],
() prend toujours la valeur 2
3
0
2 2
En observant la courbe représentative ci-
contre, nous pouvons dire :
donc croissante sur cet intervalle.
donc décroissante sur cet intervalle ;
donc croissante sur cet intervalle.
De plus (−1)=0 ; (0)=3 ; (2,5)≈−0,5 et
(4)=5 . On en déduit le tableau de variation
suivant :
III) Extremums d’une fonction
● Le maximum d’une fonction sur un intervalle I est la plus grande valeur
atteinte par cette fonction sur cet intervalle.
● Le minimum d’une fonction sur un intervalle I est la plus petite valeur
atteinte par cette fonction sur cet intervalle.
● Un extremum d’une fonction sur un intervalle I est un maximum ou un
minimum de cette fonction sur l’intervalle. I.
Reprenons les deux exemples précédents :
Dans l’exemple 1 :
Dans l’exemple 2 :
I. 2) Exemples :
Reprenons les deux exemples précédents :
Dans l’exemple 1 :
Dans l’exemple 2 :
La plus grande valeur prise par sur
l’intervalle [−1 ; 4] est 5 et la plus petite est
Le maximum de sur l’intervalle [−1 ; 4] est 5,
son minimum sur cet intervalle est −0,5.
La plus grande valeur prise par sur
l’intervalle [0 ; 3] est 9 et la plus petite est 0.
Le maximum de sur l’intervalle [0 ;3] est 9, son minimum sur
cet intervalle est 0.
IV) Récapitulatif sous forme d’exemple :
Voici la courbe représentative d’une fonction sur l’intervalle [-2 ; 3]:
● La fonction est croissante sur l’intervalle [-2 ;-1]
● La fonction est décroissante sur l’intervalle [-1 ; 2]
● La fonction est croissante sur l’intervalle [2 ; 3]
−2 −1 2 3
() 5,5 −2,5
0 −8
l’intervalle
[-2 ; 3] est 5,5.
Donc admet en -1 un maximum qui est
5,5
La plus petite valeur prise par sur l’intervalle
[-2 ; 3] est -8.
Donc admet en 2 un minimum qui est -8
Donc admet en -1 un maximum qui est
5,5
La plus petite valeur prise par sur l’intervalle
[-2 ; 3] est -8. Donc admet en 2 un minimum qui est -8
V) Les fonctions de référence
Expression
algébrique
Cas où a<0 Cas où a>0
Définition : � et �
sont des réels
alors la fonction
()= �+� est
une fonction affine
définie sur ℝ.
Remarque : � est
le coefficient
directeur et �
l’ordonnée à
l’origine
Propriétés :
La représentation
graphique d’une
fonction affine est
une droite.
Si �=� la fonction
est appelée
fonction linéaire
Représentation graphique :
Si �<�, la représentation
graphique est une droite
décroissante.
Tableau de variation : �<�
−∞ +∞
()
Tableau de signe : �<� :
−∞ −
�
�
+∞
() + 0 −
Représentation graphique :
Si �>�, la représentation
graphique est une droite
croissante.
Tableau de variation : �>�
−∞ +∞
()
Tableau de signe : �>� :
−∞ −
�
�
+∞
() − 0 +
Démonstration : Pour tous réels � et � tel que �≤� , � – � ≥ �∶
(�)= ��+� et (�)= ��+�
Pour tout réels �, �: : (�)− (�)=��+�−(��+�)=��+�−��−�=��−��=�(�−�)
On a : �−� ≥0 par hypothèse
● Lorsque � ≥ �
Le produit de deux nombres positifs étant positif : �(�−�)≥0
Ainsi (�)− (�) ≥ 0 surℝ donc est croissante sur ℝ
● Lorsque �≤�
Le produit de deux nombres de signes différents étant négatif : �(�−�)≤0
Ainsi (�)− (�) ≤ 0 surℝ donc est décroissante sur ℝ
Expression
algébrique
Représentation graphique Tableau de variation et
tableau de signe
Définition :La
fonction carré
définie sur ℝ a
pour expression
algébrique ()= ²
Remarque : Sa
courbe
représentative
s’appelle une
parabole
Propriétés :
La représentation
graphique passe
par l’origine
La fonction carré
est positive sur ℝ
Représentation graphique :
Tableau de variation :
−∞ 0 +∞
()
0
La fonction carré est
décroissante sur ]−∞;�] et
croissante sur [0 ;+∞[
Tableau de signe ::
−∞ −
�
�
+∞
() + 0 +
La fonction carré est positive
sur ℝ
Démonstration (non obligatoire )
Pour tous réels � et � tel que �≤ � on a � – � ≥ �∶
(�)= �² et (�)= �²
Pour tous réels : (�)− (�)=�² − �² = (�−�)(�+�)
● Pour � et � dans [0 ; +∞ [:
On a : �−�≥0 par hypothèse. La somme de deux nombres positifs est positive : �+� ≥0
De là : (�−�)(�+�)≥0. (Le produit de deux nombres positifs est positif)
Ainsi (�)− (�)≥0 sur [0 ; ∞ [ donc est croissante sur [0 ; +∞ [
● Pour � et � dans ]-∞ ; 0 ]:
On a : �−�≥0 par hypothèse. La somme de deux nombres négatifs est négative : �+� ≤0
De là : (�−�)(�+�) ≤0. (Le produit de deux nombres de signes différents est négatif)
Ainsi (�)− (�)≤0 sur ]-∞ ; 0 ] donc est décroissante sur ]-∞ ; 0 ]
Conséquences
Si � et � sont deux réels positifs tel que � ≤ � alors �² ≤ �²
Si � et � sont deux réels négatifs tel que � ≤ � alors �² ≥ �²
Exemples :
3 ≤ 5 alors 3² ≤ 5² soit 9 ≤ 25
-5≤ -3 alors (-5)² ≥ (-3)² soit 25 ≥ 9
�
Expression
algébrique
Représentation graphique Tableau de variation et
tableau de signe
Définition : La
fonction inverse
définie sur ℝ \{0}a
pour expression
algébrique ()=
�
Remarque : Sa
courbe
représentative
s’appelle une
hyperbole
Propriétés :
La représentation
graphique n’est
pas définie en 0
La fonction n’est
pas définie pour
=0
Représentation graphique :
Tableau de variation :
−∞ 0 +∞
()
La fonction inverse est
décroissante sur ]−∞;�[ et
décroissante sur ]0 ;+∞[
Tableau de signe :
−∞ 0 +∞
() − +
La fonction inverse est
négative sur ]−∞;�[
positive sur sur ]0 ;+∞[
Démonstration (non obligatoire )
Pour tous réels � et � non nuls tel que � ≤ � on a :
� – � ≤ � :
(�)=
1
�
et (�)=
1
�
Pour tous réels � , � non nuls : (�)− (�)=
�
�
−
�
�
=
�−�
��
● Pour � et � dans ]0 ; +∞ [:
On a : �−� ≤0 par hypothèse
Le produit de deux nombres positifs étant positif : �� ≥ 0
De là :
�−�
��
≤ 0 (Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif)
Ainsi (�)−(�)≤0 , sur ]0 ; ∞ [ donc est décroissante sur ]0 ; +∞ [
● Pour � et � dans ]-∞ ; 0 [
On a : �−� ≤0 par hypothèse
Le produit de deux nombres négatifs étant positif : �� ≥0
De là :
�−�
��
≤ 0 (Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif)
Ainsi (�)− (�) ≤ 0 , sur ]-∞ ; 0 [ donc est décroissante sur ]-∞ ; 0 [
Conséquences
Si a et b sont deux réels non nuls et de même signe tel que � ≤ � alors
�
�
≥
�
�
Exemples :
2 ≤ 4 alors
1
2
≥
1
4
soit 0,5 ≥ 0,25 et - 5 ≤ -2 alors
1
−5
≥
1
−2
soit -0,2 ≥ -0,5
La double
barre
indique que
la fonction
n’est pas
définie en 0